採血した腕が痛みます。このような医療ミス？は当たり前にあるのでしょうか？

10週目妊婦です。先日の検診での採血で、いつまでも腕が痛むのでテープを取って腕を見てみると、注射のさし口が切り傷のようになって、皮膚が裂けたような状態でした。
さらに後日、おそらく針を刺した腕の内部が内出血のようになり痛みます。

医療で、このようなミスは多いのでしょうか？
ミスしたことは分かっているはずなのに、看護師さんからなにも断りもなく、隠すように傷口にテープを貼られていたことに衝撃を受けました。

そこの産婦人科では、２人産んでいて３人目の妊娠なのですが、１人目のときは破水入院だったのに母子手帳には陣痛あり入院と記されていました。（２人目も破水入院で、母子手帳には破水入院と記してあります。）
比較的入院費も安い産院なので、そこに通っていたのですが、今回のことでミスが当たり前のように起きているのでは？と思えてきて不安です。
医療ミスの可能性があることはわかっているのですが、皮膚が切れていることに一声かけてくれなかったことに不信感を抱いてしまいました。
どこの病院でも当たり前にある事故なのでしょうか。
病院を変えたら解決するのでしょうか。