周期性発熱症候群の娘のため仕事を休むことが多いです。病児保育のお金もありません。

ベンゾーです。
労働問題の専門家として回答します。

雇用保険の加入者には「介護休業給付」という制度があります。
※雇用保険加入者かどうかは、給料から雇用保険料が引かれているかで判断できます。

この制度を利用できれば、介護によって休業する場合、給料の代わりに給付金を国から貰うことができます。

「介護」って聞くとなんとなく親世代の介護を思い浮かべますが、この制度は「自分の子供を介護する」という状況でも使えます。

また、この制度で言う「介護」とは必ずしも「要介護認定を受けていること」を指しません。
もう少し広い意味で介護をしている状況を指します。

詳細は厚労省のサイトを見る必要がありますが、個々のケースで心配ごともあると思います。そういう場合はハローワークに電話等で相談すると回答をいただけます。
「介護休業給付金を受けられるか教えて欲しい」と聞けば大丈夫です。
一応厚労省の該当ページを貼っておきます。
https://www.mhlw.go.jp/stf/seisakunitsuite/bunya/0000158665.html

手続きは会社を経由して行うことになるので、ハローワークで相談をした後は会社にも相談をしてください。

ちなみに会社側としては、この制度の利用を従業員に申しつけられた場合、正当な理由なく断ることや、解雇、減給、その他不利益な処分をすることは法律で禁止されています。

この制度を利用できれば、会社を辞めずに休業ができ、さらにある程度の給付金を貰うことができます。

以上です。よろしくお願いします。